引入
十进制
十进制，就是每到十就进一位，所以十位的 \(1\) 就代表 \(1\) 个十。用数学表示就是：
\[x=x_1\cdot10^0+x_2\cdot10^1+x_3\cdot10^2+\cdots+x_n\cdot10^{n-1}\]
（\(x_n\) 代表 \(x\) 的从右往左数第 \(n\) 位）
二进制
二进制，就是每到二就进一位，所以第二位的 \(1\) 就代表 \(1\) 个二。用数学表示就是：
\[x=x_1\cdot2^0+x_2\cdot2^1+x_3\cdot2^2+\cdots+x_n\cdot2^{n-1}\]
我们用 \((x)_n\) 来表示 \(n\) 进制，那么：
| 十进制 | 二进制 |
|---|---|
| \((0)_{10}\) | \((0)_2\) |
| \((1)_{10}\) | \((1)_2\) |
| \((2)_{10}\) | \((10)_2\) |
| \((3)_{10}\) | \((11)_2\) |
| \((4)_{10}\) | \((100)_2\) |
| \((5)_{10}\) | \((101)_2\) |
所以二进制里只有 \(0\) 和 \(1\) ，这就是你在电影高级大片中看到的景象。
加法
和普通加法差不多，不过是逢二进一，也就是 \((1)_2+(1)_2=(10)_2\)，\((10)_2+(11)_2=(101)_2\)。
减法
同样和普通减法差不多，但是这回数字们变穷了，借位只能借到两块钱，也就是 \((100)_2-(10)_2=(10)_2\)，\((1000)_2+(11)_2=(101)_2\)。
乘法
同样可以用聪明的竖式计算，只不过底下的加法还得是二进制的。
除法
依然是套用十进制的竖式。
蛤蟆
对于乘除 \(2\)，有一种很好的方法来计算，那就是直接左移右移，代入十进制来看就是乘以十后左移，除十右移。
十六进制
十六进制，就是每到十六就进一位，所以第二位的 \(1\) 就代表 \(1\) 个十六。用数学表示就是：
\[x=x_1\cdot16^0+x_2\cdot16^1+x_3\cdot16^2+\cdots+x_n\cdot16^{n-1}\]
有人可能问只有一位怎么到十六，聪明的数学家们早已想好了办法！他们用 A 来代替十，用 F 来代替十五！他们真是太聪明了。
那么如果有人在十六进制里给你一个 \((10)_{16}\)，你一看，发现第二位是 \(1\)，于是你就知道有 \(1\) 个十六，所以\((10)_{16}=(16)_{10}\)。
如上，\((20)_{32}=(16)_{10}\)，\((1\text{A})_{16}=(26)_{10}\)，\((\text{AAAA})_{16}=(43690)_{10}\)。一个有趣的现象是 \((\text{AAAA})_{16}\div(\text{AAA})_{16}=(10)_{16}\)。
进制转换
进制转换，我们考虑 a 进制转 b 进制。
因为我们对十进制比较熟悉，所以我们考虑先把 a 进制转换成十进制，然后再转换成 b 进制。这个思路简直无懈可击！
a进制转十进制
我们以十六进制转十进制为例。
这时需要用到一个按权展开，也就是对于 a 进制的每一位，乘上对应为应表示的数值，最终相加即可。
假设我们要转换的十六进制数为 \((91\text{D})_{16}\)。
因为 D 表示的是十进制中的 \(13\)，所以先转换一下。
然后我们再列出这样一个式子：
\[(91D)_{16}=9\times16^2+1\times16^1+13\times16^0\]
最终得出 \((91D)_{16}=(2333)_{10}\)。
十进制转b进制
我们以十进制转二进制举例。
我们需要用到一个短除法，也就是对要转换的数不断除 b，把余数放到结果堆里，把商放到下一行继续除 b。最后把结果堆里的数据逆序输出，即为结果。
假设我们要转换的十进制数为 \(2333\)：
\[2333\div2=1666\cdots1\] \[1666\div2=583\cdots0\] \[583\div2=291\cdots1\] \[291\div2=145\cdots1\] \[145\div2=72\cdots1\] \[72\div2=36\cdots0\] \[36\div2=18\cdots0\] \[18\div2=9\cdots0\] \[9\div2=4\cdots1\] \[4\div2=2\cdots0\] \[2\div2=1\cdots0\] \[1\div2=0\cdots1\]
最后结果是就是 \((100100011101)_2\)。
综上，\((91D)_{16}=(100100011101)_2\)。
这下我们就解决了进制转换的问题！