定义
定义 \((S,\cdot)\) 为一个群，其中 \(S\) 是一个非空集合，\(\cdot\) 是一个二元运算。
则它满足以下四个条件：
- 封闭性：\(\forall a,b\in S, a\cdot b\in S,\)
- 结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)
- 单位元：\(\exists e\in S,\forall a \in S, a\cdot e=e\cdot a=a\)
- 逆元：\(\forall a\in S,\exists a^{-1}\in S, \text{s.t.}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e\)
半群满足以上条件1和2。
含幺半群满足条件1，2和3。
若 \((S,\cdot)\) 是群，\(T\) 是 \(S\) 的非空子集，且 \((T,\cdot)\) 也是群，则称 \((T,\cdot)\) 是 \((S,\cdot)\) 的子群。
注意，群不一定满足交换律。
左单位元：\(e_L\cdot a=a\)
右单位元：\(a\cdot e_R=a\)
左逆元：\(a_L^{-1}\cdot a=e\)
左逆元：\(a\cdot a_R^{-1}=e\)
置换群：有限集合到自身的一一映射称为一个置换。有限集合上的一些置换组成的集合，在置换的乘法下所组成的群，称为置换群。
二面体群：对平面上正 \(n\) 边形所做的线性变换，包含 \(n\) 个旋转 \(\rho_0\cdots\rho_{n-1}\) 和 \(n\) 个反射 \(\pi_0\cdots\pi_{n-1}\)。
多面体群：对正多面体所做的线性变换。
子群：对于群 \((G,\cdot)\)，
若 \(S\subseteq G,\text{s.t.}(S,\cdot)\) 是群，则说 \((S,\cdot)\) 是 \(G\) 的子群，记为 \(S\leqslant G\)。
当 \(S\neq G\) 时，称为真子群。
常见的群
\((\mathbb{Z},+)\)：整数加法；
\((\mathbb{Q}^+,\times)\)：正有理数乘法；
\((\mathbb{Q}^-\cup\mathbb{Q}^-,\times)\)：非零有理数乘法；
\((\mathbb{Z}_n,+)\)：\(\bmod n\) 整数加法；
定义 \(\mathbb{Z}_n^*=\left\{x\mid (x,n)=1,1\leq x<n\right\}\)
\((\mathbb{Z}_n^*,\times)\)：与 \(n\) 互质的数的 \(\bmod n\) 乘法；
正六面体变换群：\(D_6\)。
Klein 四元素群：\(S=(\{e,a,b,c\},\cdot)\)，其中 \(\forall x\in S,x\cdot x=e\)
一些证明
\(a\cdot b\) 简写为 \(ab\)。
普遍群
群中单位元唯一
设 \(e_1,e_2\) 均为单位元。
\[e_1=e_1e_2=e_2\]
群中不同元素的逆元各不相同
若 \(a\neq b,a^{-1}=b^{-1}\)
则
\[ab^{-1}=aa^{-1}=e\] \[ab^{-1}b=eb\] \[ae=be\] \[a=b\]
矛盾。
若逆元都为自身，则运算结果不同于被运算元素
若 \(\forall p\in S, p^{-1}=p\)
那么有 \(ab\neq b\)
假设 \(ab=b\)
则
\[(ab)b^{-1}=bb^{-1}\] \[ae=e\] \[a=e\]
矛盾。
若半群包含左单位元和左逆元，那么它是群
有半群 \((S,\cdot)\)，使得：
- \(\exists e_L,\forall a\in S,e_L\cdot a=a\)
- \(\forall a\in S,\exists a_L^{-1}\in S,\text{s.t.}a_L^{-1}\cdot a=e_L\)
则 \(\forall a\in S\)
\[a\cdot a_L^{-1}\]
\[=e_L\cdot(a\cdot a_L^{-1})\]
\[=(a_L^{-1})_L^{-1}\cdot a_L^{-1}\cdot a\cdot a_L^{-1}\]
\[=(a_L^{-1})_L^{-1}\cdot(a_L^{-1}\cdot a)\cdot a_L^{-1}\]
\[=e_L\]
另 \(\forall a\in S\)
\[a\cdot e_L=a\cdot a_L^{-1}\cdot a=e_L\cdot a=a\]
\[\therefore e_L=e_R,a_L^{-1}=a_R^{-1}\]
\(\therefore (S,\cdot)\) 是群
半群的以下方程有解是群的充要条件
有半群 \((S,\cdot)\)，使得：
\(\forall a,b\in S,ax=b,ya=b\) 均有解
\(\rArr\) 若 \((S,\cdot)\) 是群：
\[ax=b\] \[a^{-1}ax=a^{-1}b\] \[x=a^{-1}b\]
同理 \(y=ba^{-1}\)。
\(\lArr\) 若方程有解：
取 \(b=a\)，则有
\[ax=a,ya=a\] \[x=e_L,y=e_R\]
需证明 \(e_L\) 和 \(e_R\) 是单位元。
\(\forall c\in S\)：
令 \(qa=c,qae_R=qa=c\)
令 \(ap=c,e_Lap=ap=c\)
\(\therefore e=e_L=e_R\)
\(\forall d\in S\)
解 \(xd=e\)
则 \(x=d^{-1}\)。
\(\therefore\forall a,\exists a^{-1}\)
\(\therefore (S,\cdot)\) 是群
有限半群的消去律成立是群的充要条件
有有限半群 \((S,\cdot)\)，使得：
- \(ax=ay\) 可推出 \(x=y\)；
- \(xa=ya\) 可推出 \(x=y\)；
\(\rArr\) 若 \((S,\cdot)\) 是群：
\[xaa^{-1}=yaa^{-1}\] \[x=y\]
\(ax=ay\) 同理。
\(\lArr\) 若对任意元素消去律均成立：
设 \(S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)
定义 \(S^\prime=\{a_1a,a_2a,\cdots,a_na\}\)
若 \(a_ia=a_ja\)，则 \(a_i=a_j\)
若 \(a_ia\neq a_ja\)，则 \(a_i\neq a_j\)
\(\therefore S\) 与 \(S^\prime\) 一一对应。
\[\forall a_i \in S, \exists a_j\in S, \text{s.t.}a_ja=a_i\]
\[\forall a_i \in S, \exists a_j\in S, \text{s.t.}aa_j=a_i\]
由上一条证明得知，\(S\) 是群。
与n互质的数的mod n乘法是群
定义 \(\mathbb{Z}_n^*=\left\{x\mid (x,n)=1,1\leq x<n\right\}\)
\((\mathbb{Z}_n^*,\times)\)：与 \(n\) 互质的数的 \(\bmod n\) 乘法是群。
\[\forall a,b\in\mathbb{Z}_n^*\]
\[\because(a,n)=1\]
\[\therefore\exists x_1,y_1\in\mathbb{Z},\text{s.t.}ax_1+ny_1=1\tag{1}\]
\[\because(b,n)=1\]
\[\therefore\exists x_2,y_2\in\mathbb{Z},\text{s.t.}bx_2+ny_2=1\tag{2}\]
\[(1)\times b:ax_1b+ny_1b=b\tag{3}\]
\((3)\) 代入 \((2)\)
\[ax_1bx_2+ny_1bx_2+ny_2=1\]
\[(ab)(x_1x_2)+n(y_1bx_2+y_2)=1\]
\[\therefore (ab,n)=1\]
封闭性成立。
结合律显然，半群成立。
消去律显然，群成立。
子群
以下三条等价
若 \((G,\cdot)\) 是群，且 \(S\subseteq G\) ，则
\[S\leqslant G\tag{1}\]
\[\forall a,b\in S,ab\in S,a^{-1}\in S\tag{2}\]
\[\forall a,b\in S,ab^{-1}\in S\tag{3}\]
三条等价。
证明：
\((1)\Rightarrow(2)\) 由定义。
\((2)\Rightarrow(3)\)：\(\forall a,b\in S,b^{-1}\in S,ab^{-1}\in S\)。
\((3)\Rightarrow(1)\)：
取 \(a=b\)。
\[aa^{-1}\in S\] \[e\in S\]
存在单位元。
取 \(a=e\)。
\[\forall b\in S\] \[eb^{-1}\in S\] \[b^{-1}\in S\]
存在逆元。
\[\forall a,c\in S\]
令 \(b=c^{-1}\)。
\[ab^{-1}\in S\] \[a(c^{-1})^{-1}\in S\] \[ac\in S\]
封闭性成立。
结合律显然，\((S,\cdot)\) 是群
\[\therefore S\leqslant G\]
子群的交也是子群
若 \(H_1,H_2\leqslant G\)，则 \(H_1\cap H_2\leqslant G\)
证：
\[\forall a,b\in(H_1\cap H_2)\]
\[ab^{-1}\in H_1,ab^{-1}\in H_2\]
\[\therefore ab^{-1}\in(H_1\cap H_2)\]
\[\therefore H_1\cap H_2\leqslant G\]
两个子群的并也是子群，当且仅当一个子群是另一个子群的子群
若 \(H_1\leqslant G,H_2\leqslant G\)，
则 \(H_1\cup H_2\leqslant G\Leftrightarrow H_1\leqslant H_2\) 或 \(H_2\leqslant H_1\)。
证：
\(\Leftarrow\) 若 \(H_1\leqslant H_2\)：
则 \(H_1\cup H_2=H_2\leqslant G\)。
\(\Rightarrow\) 若 \(H_1\cap H_2\leqslant G\)
反设 \(H_1\nleqslant H_2\) 且 \(H_2\nleqslant H_1\)
\[\therefore H_1-H_2\neq\phi,H_2-H_1\neq\phi\]
取 \(a\in H_1-H_2,b\in H_2-H_1\)
令 \(c=a\cdot b\)
若 \(c\in H_1\)，则 \(\because a\in H_1,\therefore b=a^{-1}\cdot c\in H_1\)，矛盾；
若 \(c\in H_2\)，则 \(\because b\in H_2,\therefore a=c\cdot b^{-1}\in H_2\)，矛盾。
\(\therefore H_1\cap H_2\) 不封闭，矛盾。
两个子群间的运算具有交换律是将其合并成一个子群的充要条件
若 \(H_1,H_2\leqslant G\)
则 \(H_1H_2\leqslant G\Leftrightarrow H_1H_2=H_2H_1\)
其中 \(H_1H_2=\{ab\mid a\in H_1,b\in H_2\}\)
\(\Rightarrow\)：