年终了，做一些回忆和整理。

2022.10.14

• 第一次化学统测，最后一题需要同时考虑正负电荷、物质的量而确定答案，考场上没做出来，感极而悲，认识到现在的题目已不是直接考虑就能完成，遂开始了差劲、无聊事项的记录。
  • 化学大题考虑事项：计算物质的量、正负电荷、是否可溶、是否为弱电解质，注意弱电解质也在离子方程式里。
• 数学：
  • 对 \(f(x)=(ax-1)(x+2)\) 正负性分类，讨论半天只在 \(a=\dfrac{1}{2}\) 点分类，忘了在零点分，痛失三分。
  • 要学会在草稿作图，有助于思路。
• 物理：匀加速直线运动求距离忘除二，导致两问全错。
• 英语：定语从句填空不能空着。

2022.9.17

组合数技巧

对于 \(\bmod 2\) 的组合数，进行卢卡斯后可得出结论： \(C_n^m=[n\textsf{&}m=m]\)

2022.9.24

可后悔贪心

A 城市有一个巨大的圆形广场，为了绿化环境和净化空气，市政府决定沿圆形广场外圈种一圈树。园林部门得到指令后，初步规划出 \(n\) 个种树的位置，顺时针编号 \(1\) 到 \(n\)。并且每个位置都有一个美观度 \(A_i\)，如果在这里种树就可以得到这Ai的美观度。但由于A城市土壤肥力欠佳，两棵树决不能种在相邻的位置（\(i\) 号位置和 \(i+1\) 号位置叫相邻位置。值得注意的是 \(1\) 号和 \(n\) 号也算相邻位置！）。

最终市政府给园林部门提供了 \(m\) 棵树苗并要求全部种上，请你帮忙设计种树方案使得美观度总和最大。如果无法将 \(m\) 棵树苗全部种上，给出无解信息。

前置知识

基本图论，dfs 序和搜索树，栈

引入

Tarjan 算法由 Robert Tarjan 提出，具有线性复杂度，是图论中非常实用且通用的一个算法。

针对无向图，可以用来求图中的桥（删去后两边变得不连通的边，也叫割边）、割点（删去后它连接的部分变得不连通的点）；

针对有向图还可以进行缩点，也就是把所有能互相连通的点（这个叫强连通分量） 缩成一个点，在让图变无环的同时保留了一些性质，便于计算。

第一单元 坚持宪法至上

第一课 维护宪法权威

公民权利的保障书

1. 国家权力属于人民
   • 中国是工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民民主专政的社会主义国家；（宪法第一条）
   • 国家的一切权力属于人民，是我国宪法的基本原则；（第二条）
   • 宪法规定社会主义经济制度，是~的经济基础；
   • 宪法规定社会主义政治制度，是~的基本途径和形式；
   • 宪法规定广泛的公民基本权利，保障措施；
   • 宪法规定武装力量属于人民。
     Read more »

秦朝

（统一后，公元前221~201，共15年，历三帝，赢姓） 1. 秦始皇（赢政）——中国的第一个皇帝，12年 2. 秦二世（胡亥），后被赵高所杀，3年 3. 子缨，斩杀赵高，1年

汉朝

西汉

（公元前206~公元8年，共214年，刘姓，历 1. 汉高祖（刘邦）——大汉开国皇帝，12年 2. 汉惠帝（刘盈）——来去匆匆，过眼云烟 3. 少帝（吕后专政），8年 4. 汉文帝（刘恒），23年 5. 汉景帝（刘启），政绩并不代表其成功，16年 6. 汉武帝（刘彻）——开天辟地，建元，54年

（\(\text{C}^m_n\) 代表从 \(n\) 个不同物品里面选 \(m\) 个，有多少种选法）

（\(\sum\limits_{i=0}^n\text{f}(i)\) 表示从 \(0\) 到 \(n\) 对 \(\text{f}(i)\) 求和）

（约定 \(\text{C}^0_n=1\)）

引理：n 次方差公式 \[(m+1)^{k+1}-m^{k+1}=\sum_{i=0}^{k}\text{C}^i_{k+1}m^i\]

证：

\[\sum^n_{m=1}(m+1)^{k+1}-m^{k+1}=(n+1)^{k+1}-1^{k+1}\] \[=\sum_{i=0}^k\text{C}^i_{k+1}\left(\sum^n_{m=1}m^i\right)\] \[=\text{C}^k_{k+1}\left(\sum^n_{m=1}m^k\right)+\sum^{k-1}_{i=0}\text{C}^i_{k+1}\left(\sum^n_{m=1}m^i\right)\]

因此有 \[\sum^n_{m=1}m^k=\dfrac{1}{\text{C}^k_{k+1}}\left[(n+1)^{k+1}-1-\sum^{k-1}_{i=0}\text{C}^i_{k+1}\left(\sum^n_{m=1}m^i\right)\right]\]

定义

定义 \((S,\cdot)\) 为一个群，其中 \(S\) 是一个非空集合，\(\cdot\) 是一个二元运算。

则它满足以下四个条件：

1. 封闭性：\(\forall a,b\in S, a\cdot b\in S,\)
2. 结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)
3. 单位元：\(\exists e\in S,\forall a \in S, a\cdot e=e\cdot a=a\)
4. 逆元：\(\forall a\in S,\exists a^{-1}\in S, \text{s.t.}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e\)